Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1. Теоретические основы символического метода расчета цепей переменного тока……………………………………………………………….4

1.1.Краткие исторические сведения о создании символического метода расчета цепей переменного тока……………………………………………….4

1.2.Математический инструментарий расчета цепей переменного тока на примере функций комплексного переменного………………………………..12

1.2.1.Геометрическая интерпретация комплексного числа. Векторная диаграмма………………………………………………………………………..12

1.2.2. Алгебраические действия над комплексными числами………………13

1.2.3.Алгебраическая, показательная, тригонометрическая формы комплекса.

Глава 2. Линейные цепи синусоидального тока…………………………..14

2.1.Применение комплексных чисел для расчете электрических цепей (алгебраическая, показательная, тригонометрическая формы)……………14

2.2.Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока………………………………………………………………………………21

2.3.Определение комплекса полной мощности, активной и реактивной мощности…………………………………………………………………………24

Заключение…………………………………………………………………….25

Список используемой литературы………………………………………….26

Введение

Целью исследования является расчет линейных цепей синусоидального тока на основе применения комплексных чисел.

Комплексный метод расчета цепей переменного тока был разработан в 1910 году американским инженером Штейнметцом и сыграл большую роль в развитии теории цепей переменного тока. Суть метода заключается в следующем: дифференциальные уравнения n-порядка или системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать изображая синусоидальные величины в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости, так например замена математических операций 2-го рода (дифференцирование, интегрирование) операциями первого рода (умножение, деление) существенно упрощает расчет цепей переменного тока в комплексной форме.

Для достижения цели мгновенных

Глава 1 Теоретические основы символического метода расчета цепей переменного тока.

1.1 Краткие исторические сведения о создании символического метода расчета цепей переменного тока.

Чарльз Протеус Штейнмец (Steinmetz, Charles Proteus) (1865–1923), американский инженер-электротехник. Родился 9 апреля 1865 в Бреслау в Германии (ныне Вроцлав, Польша). Учился в университете Бреслау, окончил Высшую техническую школу в Цюрихе. В 1889 эмигрировал в США.

Работал на небольшой электротехнической фирме в Йонкерсе (шт. Нью-Йорк). Под влиянием владельца фирмы Р. Айкемейера заинтересовался электротехникой. Организовал лабораторию, где и выполнил большинство своих исследований. Прежде всего он занялся определением потерь мощности в магнитных материалах, использующихся в электрооборудовании, и получилэмпирическую формулу для расчета потерь на гистерезис (1890–1892). Это позволяло заранее учитывать потери мощности при расчетах трансформаторов, электродвигателей, генераторов переменного тока и других электрических устройств.

В 1892 Штейнмец сделал два доклада на эту тему на конференции в Американском институте инженеров-электриков. Работа сразу получила признание, а вычисленные им коэффициенты потерь на гистерезис были включены в электротехнические справочники.

Второе важное достижение Штейнмеца – разработка основ символического метода расчета цепей переменного тока, о котором он сделал доклад на Международном электрическом конгрессе в 1893. Метод быстро нашел практическое применение, чему немало способствовали многочисленные лекции на эту тему, прочитанные Штейнмецем, и его книгаМатематика для инженеров (Engineering Mathematics, 1910).

В 1893 фирма Айкемейера влилась в недавно созданную корпорацию «Дженерал электрик», где Штейнмец получил место инженера. Здесь у него появились более широкие возможности для занятий исследовательской работой и внедрения своих изобретений.

Вначале он участвовал в создании мощных генераторов для новой гидроэлектростанции на Ниагарском водопаде, предложив множество усовершенствований. Затем, занявшись изучением кратковременных изменений в электрических цепях, исследовал природу молнии и предложил способ защиты от нее линий электропередачи. Кроме того, он занимался проектированием и расчетами светотехнических устройств и крупных электрических машин.

Со временем Штейнмец занял пост технического руководителя компании «Дженерал электрик». В 1901 он был избран президентом Американского института инженеров-электриков, а через год стал профессором электротехники в Юнион-колледже.

Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.

Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

преобразование всех величин и параметров электрической цепи в их изображения комплексными числами;

преобразование исходной электрической цепи в символическую схему замещения, где все величины и параметры представлены изображениями;

эквивалентные преобразования схемы замещения (если требуется);

определение искомых величин в области изображений;

преобразование искомых величин в оригиналы (если требуется).

Последняя операция не является обязательной, т.к. некоторые величины (амплитудные и действующие значения токов и напряжений, активные и реактивные составляющие и т.п.) не изменяются при обратном преобразовании.

Соединим последовательно лампу накаливания с сопротивлением R, батарею конденсаторов с емкостью С и катушку с большой индуктивностью L. Если данную цепь присоединить к зажимам генератора переменного тока, то лампа загорится, что свидетельствует о наличии электрического тока в цепи, несмотря на разрыв, существующий между изолированными друг от друга обкладками конденсатора.

Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, С (см. рисунок) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

 

Здесь ток во всех трех участках один и тот же:

 

Разности потенциалов на всех трех сопротивлениях имеют вид:

 

 Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости. 

Рис 1 Вектор Um и его проекции.

Расположим под углом   относительно оси абсцисс вектор Um, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.

Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, С.

Рис 2.Векторные диаграммы для идеальных элементов R, L, C.

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме.

Рис 3.Векторные диаграммы сложения двух напряжений

В расчетах применяют три формы записи комплексных величин: 

1) алгебраическая   2)тригонометрическая   3) показательная, учитывая   

 

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90° в положительном направлении (против часовой стрелки). Переходы из одной формы записи в другие:

 где 

 

 где  Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, С в комплексном виде записывается следующим образом:

 

Используя выражения  , запишем выражение для полного напряжения цепи:

 где  - комплексное сопротивление; 

 - комплексная амплитуда напряжения;

 - комплексная амплитуда тока.

При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

 

Величину Z называют полным сопротивлением цепи переменного тока. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

 

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

 

Векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательным соединением R, L, C будет представлять собой прямоугольный треугольник. 

Рис 4.Треугольник напряжений

   Треугольники токов, сопротивлений и мощностей строятся аналогично

     

Рис. 5. Активная и реактивная мощности

Полная мощность S = UI;активная мощность   реактивная мощность  ,где 

 В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол   сохраняет свое значение.

1.2.Математический инструментарий расчета цепей переменного тока на примере функций комплексного переменного.

1.2.1.Геометрическая интерпретация комплексного числа. Векторная диаграмма.

, где

j²=-1 – мнимая единица;

j;

Re z=a – действетельная часть,

Im z=b – линейная часть.

Z1=2+5j

Z2=-2+3j

Z3=-j=0-j

Z4=3=3+0j

Рис. 6. Векторная диаграмма

1.2.2. Алгебраические действия над комплексными числами.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Z1=2+3j │ z1=a+bj

Z2=-2+4j │ z2=c+dj

Z1+ Z2= (a±c)+(b±d)j

Z1+ Z2= (2+(-2))+(3+4)j

Z1+ Z2= 0+7j=7j

Z1- Z2= (2+(-2))+(3+4)j

Z1- Z2= (2-(-2))+(3-4)j

Z1- Z2= 4+(-1j)=4-j

Умножение комплексов.

Z1=2+3j

Z2=-2+4j

Z1* Z2 = (a+bj)*(c+dj)=ac+adj+bcj+bdj², где j²=-1

Z1* Z2 = (2+3j)*(-2+4j)

Z1* Z2 = -4+8j+(-6j)+12j²

Z1* Z2 = -16+2j

Деление комплекса.

Понятие сопряженного комплекса

, ему сопряженный комплекс пара комплексно сопряженных чисел.

При делении, дробь умножается на сопряженный комплекс знаменателя.

=

=

=.

1.2.3.Алгебраическая, показательная, тригонометрическая формы комплекса.

Алгебраическая форма комплекса, тригонометрическая форма комплекса, показательная форма комплекса.

Найдем модуль комплекса:

=

Найдем аргумент комплекса:

Принимаем решение:

U(t)=

I(t)=

Действующие значения напряжения и тока

U=

I=

Выражение для комплексного сопротивления Ƶ и комплексной проходимости Υ

Ƶ1= R+jωL

Ƶ2= R-j

Определение комплекса полной мощности

S=U*

S=P+jQ

Глава 2 Линейные цепи синусоидального тока.

2.1.Применение комплексных чисел для расчете электрических цепей (алгебраическая, показательная, тригонометрическая формы)

Заданы комплексы тока и комплексы направления

I1= 15+25j; U1= 15+30j;

I2 = 20+18j U2= 18+22j;

Построить векторные диаграммы, выполнить операции сложения, вычитания, умножения, деления в алгебраической форме.

Рис.7. Векторная диаграмма токов I

I1=15+25j;

I2 =20+18j;

I1+ I2= (15+20)+(25+18)j;

I1+ I2=35+43j;

I1-I2= (15-20)+(25-18)j;

I1-I2= -5+7j;

I1*I2= (15+25j)*(20+18j);

I1*I2= 300+270j+500j+450j²;

I1*I2= -150+770j;

=;

=

=

Рис.8. Векторная диаграмма U токов

U1= 15+30j;

U2= 18+22j;

U1+ U2= (15+18)+(30+22)j;

U1+ U2= 33+52j;

U1- U2= (15-18)+(30-22)j;

U1- U2= -3+8j;

U1* U2= (15+30j)*(18+22j);

U1* U2= 270+300j+540j+600j²;

U1* U2= -330+840j;

=;

=;

=;

Перейти от алгебраической формы к тригонометрической и показательной

I1= 15+25j;

│I1│= =;

= = 1,66;

φ=59ᵒ;

I1= +(

I1= *;

I2 = 20+18j

│I2│= =;

= = 0.9;

φ=42ᵒ;

I2= +(

I2= *;

U1= 15+30j;

│U1│= =;

= = 2;

φ=64ᵒ;

U1= +(

U1= *;

U2= 18+22j;

│U2│= =;

= = 1,22;

φ=51ᵒ;

U2= +(

U2= *;

Табл.1 Значения перевода из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы

алгебраическая

тригонометрическая

показательная



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




© , 2017