Основные понятия оптимизации

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из множества всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбирать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т. др.

В процессе решения задач оптимизации, как правило, необходимо найти оптимальное значение некоторых параметров, которые определяют данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами. В качестве проектных параметров могут быть значения линейных размеров о(єкта, массы, температуры и т. др. Число _ проектных параметров _ характеризует размерность (степень сложности) задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнения двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), которая определяется проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией или критерием качества. В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет максимум (или минимум). Таким образом, целевая функция — это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные задачи.

ЛОкальный экстремум ищется в задаче где оптимизация проводится по всему пространству(задача безусловной оптимизации). Условный экстремум ищется в задаче , где определяется область оптимизации каким нибудь множеством (в виде системы неравенств или равенств, это называется задачей условной оптимизации). 

Целевая функция

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ [target function] в экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц. ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи. Таким образом, Ц. ф. выступает как критерий оптимальностирешения задачи.

Различается ряд видов Ц. ф.: линейнаянелинейнаявыпуклаяквадратичная и др. — в соответствии с формой математической зависимости, которую они отображают. Следует также выделить термин “целевой функционал”: он применяется обычно, если Ц. ф. задачи является функцией от некоторых функций-ограничений.

Различают прямые и функциональные ограничения.

Прямые ограничения накладываются на управляемые параметры: xt >xni; xt<="" p="">

Область Хд в пространстве управляемых параметров, заданную прямыми ограничениями, называют допустимой областью или областью допустимых значений управляемых параметров X

В качестве примера прямых ограничений можно назвать ограничения на диаметры валов.

Кроме первых ограничений в задачах оптимизации могут быть функциональные ограничения.

Эти ограничения подразделяются на два вида: ограничения-неравенства и ограничения-равенства.

Прямые ограничения (12.

4) можно рассматривать как частный случай функциональный ограничений (12.

Функциональные ограничения устанавливают некоторые зависимости между управляемыми параметрами, нарушение которых недопустимо по условиям обеспечения работоспособности или регламентируемой эффективности функционирования технического объекта.

Наложенные ограничения приводят к тому, что поиск оптимального решения ограничивается некоторой областью Хр в пространстве управляемых параметров.

Задачи проектирования технических объектов характеризуются большим количеством оптимизируемых параметров и наличием ограничений, накладываемых на параметры.

Метод случайного поиска

Random-walk method

Метод экспериментального поиска экстремума функций многих переменных. Основная идея метода заключается в том, что точку каждого пробного опыта для изучения поверхности отклика выбирают случайным образом. Несмотря на произвольность выбора пробной точки, алгоритм случайного поиска позволяет последовательно приближаться к экстремальной области.

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Метод используется при решении квадртных уравнений и уравнений высших степеней. Достоинство метода половинного деления : более быстрая сходимость к заданной точности, чем у шагового. Недостаток: если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то метод не работает.

Методы поиска экстремума функций многих переменных

Методы поиска экстремумов функций f (х1,…,хn) подразделяются на градиентные и безградиентные по следующему признаку: градиентные основаны на вычислении и анализе частных производных функции f (х1,…,хn), безградиентные не используют значений производных.

Будем рассматривать эти методы как методы поиска min f (x1,x2,…,xn). Вначале рассмотрим некоторые градиентные методы.

.4.1 Метод координатного спуска

Идея метода: Движение от начальной точки по направлению одной из осей координат до момента начала возрастания целевой функции, переход к направлению другой оси и т.д., пока не будет достигнута точка, движение из которой по любой оси координат с минимально возможным шагом приводит

к увеличению значения целевой функции (рисунок 2.9).

Методы градиента Идея методов: Каждая следующая точка поиска min f (x1,x2,…,xn) (каждый новый член минимизирующей последовательности) получается в результате перемещения из предыдущей точки по направлению антиградиента целевой функции.

Метод наискорейшего спуска

Так называют модификацию метода градиента с постоянным шагом, позволяющую сократить общий объем вычислений при некотором увеличении числа членов минимизирующей последовательности за счет меньшего количества вычислений частных производных целевой функции. При использовании этого метода аргументы целевой функции изменяются в соответствии с выражением (2.8), но значения ее производных не пересчитываются до тех пор, пока не сложится ситуация f (х1(k+1),х2(k+1),…,хn(k+1)) f (х1(k),х2(k),…, хn(k)) (рисунок 2.12). Дробление шага поиска производится, когда во вновь выбранном направлении (после пересчета значений частных производных) не удается сделать ни одного результативного шага, останов поиска – при выполнении неравенства (2.6).