Вопросы к коллоквиуму по курсу «Математический анализ»

I курс (2-й семестр) 2013-2014 учебный год

Направления: прикладная математика и информатика, физика, ядерные физика и технологии

Стационарные точки. Первое, второе и третье достаточные условия экстремума. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.

Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости.

Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба.

Первое, второе и третье достаточные условия перегиба.

Асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условие существования асимптот.

Отыскание максимального и минимального значений функции.

Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных. Неопределённый интеграл, его свойства. Таблица неопределённых интегралов.

Основные методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям). Примеры.

Рациональная дробь. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Примеры.

Интегрирование рациональных дробей. Примеры.

Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная замена. Частные случаи рационализации интеграла . Примеры.

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Подстановки Эйлера.

Определённый интеграл Римана. Необходимое условие существования интеграла Римана.

Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства.

Верхний и нижний интегралы Дарбу, их свойство. Лемма Дарбу.

Понятие равномерной непрерывности функции. Примеры. Теорема Кантора о равномерной непрерывности, следствие из неё.

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Интегрируемость непрерывных функций.

Интегрируемость некоторых разрывных функций.

Интегрируемость монотонных ограниченных функций.

Свойства определённого интеграла.

Оценки интегралов.

Формулы среднего значения.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной под знаком определённого интеграла. Формула интегрирования по частям. Примеры.

Лектор: доцент, к.т.н. Богомолова Е.В.